MAT01 Mathematische Grundlagen

In welchen Intervallen ist die Funktion \(K(x)=x^3-2x^2+60x+100\) konvex (resp. konkav)?

Problem einordnen

In dieser Aufgabe sollen wir für die Funktion \(K(x)=x^3-2x^2+60x+100\) bestimmen, für welche x Werte die Funktion konvex resp. konkav ist.

Sie brauchen folgende Kenntnisse, um diese Aufgabe lösen zu können:

• Überprüfung der Krümmung: Tietze Kapitel 6.2.2, Satz 6.2.10

Formaler Lösungsweg

(i) Berechnung des Bereichs, für welchen die Funktion K konvex ist

Hierfür berechnen wir die zweite Ableitung der Funktion K(x), also K''(x), und schauen danach, für welche x Werte die zweite Ableitungsfunktion K''(x) positiv ist:

\(K'(x)=3x^2-4x+60 \quad \Rightarrow \quad K''(x)=6x-4\)

\(K''(x)=6x-4 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > 2/3\)

Wir folgern: Für \(x > 2/3\) ist die Funktion K (und nicht etwa K'(x) oder K''(x)!) konvex.

(ii) Berechnung des Bereichs, für welchen die Funktion K konkav ist.

Hierfür berechnen wir die zweite Ableitung der Funktion K(x), also K''(x), und schauen danach, für welche x Werte die zweite Ableitungsfunktion K''(x) negativ ist:

\(K'(x)=3x^2-4x+60 \quad \Rightarrow \quad K''(x)=6x-4\).

\(K''(x)=6x-4 < 0 \quad \Rightarrow \quad x < 2/3\)

Wir folgern: Für \(x < 2/3\) ist die Funktion K (und nicht etwa K'(x) oder K''(x)!) konkav.

Wir wissen nun, ohne die Funktion \(K(x)\) skizziert zu haben, mit Hilfe der zweiten Ableitung von \(K(x)\), für welchen Bereich die Funktion \(K(x)\) konvex resp. konkav ist. Zum Schluss können wir das Resultat überprüfen, indem wir die Funktion \(K(x)\) skizzieren und überprüfen, ob die Funktion tatsächlich für \(x < 2/3\) konkav resp. für \(x > 2/3\) konvex ist. Die Grafik finden Sie hier.

Wie wir gesehen haben, mussten wir über die zweite Ableitung K'' gehen, um den kritischen Wert von \(x=2/3\) für die Krümmung zu bekommen. Den Zusammenhang zwischen der zweiten Ableitung K'' und der Krümmung von K sehen sie grafisch hier. Links von \(x=2/3\) ist K'' negativ (also unterhalb der x-Achse), deshalb ist K konkav. Rechts von \(x=2/3\) ist K'' positiv (also oberhalb der x-Achse), deshalb ist K konvex.

\(K'(x)=3x^2-4x+60\)

\(K''(x)=6x-4\)

I: \(K''(x)=6x-4 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > 2/3 \quad \Rightarrow \quad \) K(x) ist konvex für \(x > 2/3\) (der Graph ist linksgekrümmt)

II: \(K''(x)=6x-4 < 0 \quad \Rightarrow \quad x < 2/3 \quad \Rightarrow \quad \) K(x) ist konkav für \(x < 2/3\) (der Graph ist rechtsgekrümmt)